МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКО-УПРУГО-ПЛАСТИЧНОЙ СМАЗКИ УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

 

MATHEMATICAL MODEL OF VISCOUS AND ELASTOPLASTIC GREASING OF PERSISTENT SLIDING BEARINGS

 

Ахвердиев К.С., Новгородова В.С., Солоп К.С.

(РГУПС, г. Ростов-на-Дону, РФ)

Akhverdiev K.S., Novgorodova V.S., Solop K.S.

(Rostov State Transport University)

 

В статье изучается влияние параметра пластичности и числа Дебора на силу трения и несущую способность вязко-упруго-пластичной среды при использовании нелинейной модели Максвелла.

 

Ключевые слова: математическая модель, упорный подшипник, смазочные материалы, оценка работоспособности, несущая способность.

Key words: mathematical model, the persistent bearing, lubricants, the assessment of working capacity, bearing capacity.

 

В последнее время получают все большее распространение смазочные материалы с маслорастворимыми полимерными присадками с высоким молекулярным весом, приводящее к появлению неньютоновских (микрополярных, вязкоупругих и вязкопластичных) свойств смазки. Очевидно, пренебрежение этими свойствами при расчете подшипников скольжения может привести к ошибочной оценке их работоспособности.

Таким образом, одним из перспективных направлений исследований в трибологии является аналитическое прогнозирование характеристик микрополярной, вязкоупругой и вязкопластичной смазок, обеспечивающих рациональный режим работы подшипников скольжения.

На основе проведенных экспериментальных исследований [1-2] установлено, что происходит повышенный износ подшипников скольжения двигателей, работающих на смазках с полимерными добавками с высоким молекулярным весом, которые обуславливают смазкам неньютоновские свойства [3-4]. В частности для многих видов смазки наиболее существенными могут оказаться вязко-упруго-пластические свойства смазки. Таким образом, при математическом анализе работ подшипников скольжения возникает необходимость учесть вязко-упруго-пластичные свойства смазки. Представляет практический интерес решение этой задачи в случае, когда в качестве реологического уравнения смазки используется нелинейная модель Максвелла с учетом существования предельного напряжения сдвига  [5].

Цель: Рассмотреть влияние параметра пластичности и числа Дебора на силу трения и несущую способность вязко-упруго-пластичной среды.

Рассматривается движение вязко-упруго-пластичной смазки между наклонным ползуном и направляющей (рис. 1).

 

Рисунок 1 - Схематическое изображение упорного подшипника

 

В декартовой системе координат  уравнение направляющей и ползуна можно записать в виде

,

где  - толщина пленки в начальном сечении,  - угол наклона ползуна. Характеристики жидкости могут быть выражены при помощи уравнения

                                           (1)

Если движение является установившимся, то производная  в уравнении (1) может быть заменена производной . Тогда характеристики потока могут быть выражены следующим уравнением

,                                        (2)

в котором  - скорость движения направляющей,  - модуль упругости,  - вязкость,  - характеризует время релаксации жидкости, - предельное напряжение сдвига,  - касательное напряжение,  - время,  - компоненты вектора скорости .

При наличии вышеуказанных допущений рассмотрение равновесия элемента жидкости, находящегося между поверхностями подшипника, приводит к следующему уравнению

,                                                     (3)

где  - гидродинамическое давление.

Интегрируя (3), получаем уравнение

.                                           (4)

Подставляя (4) в (2), получаем

          (5)

Дифференцируя (5) по у, имеем

                    (6)

После осреднения получаем

              (7)

При анализе рассматриваемой системы за исходное берем уравнение (7) и уравнение неразрывности

                                               (8)

Система уравнений (7) – (8) решается при следующих граничных условиях

  при  ;

  при  ,                        (9)

,

.

Перейдем к безразмерным переменным по формулам

                                    (10)

Подставим (10) в (7) – (9):

,

,                (11)

где  (параметр пластичности),    (число Деборы).

Система уравнений (10) и (11) решается при следующих граничных условиях

  при  ;

  при  ,

  при  ,                                     (12)

Тогда автомодельное решение задачи (11) – (12) будем искать в виде:

,

,              (13)

.

Подставляя (13) в (10) – (12), получим

,                               (14)

,

.                   (15)

Решение задачи (14) – (15) находится непосредственным интегрированием. В результате имеем:

.          (16)

Из условия постоянства расхода  получаем, что .

А из условия  находим

Для определения гидродинамического давления имеем уравнение

.             (17)

Функция  определяется из уравнения

.                                  (19)

Безразмерное гидродинамическое давление  и функцию  найдем в виде рядов

В результате получены аналитические выражения для поддерживающей силы и силы трения, позволяющие оценить влияние числа Дебора  и параметра пластичности на эти характеристики.

 

Список использованных источников

1.      Harnoy A., Hanin M., «Second Order, Elastico – Viscous Lubricants in Dynamically Loaded Bearings», ASLE Trans., Vol. 17, No. 3, 1974, pp. 166 – 171.

2.      Harnoy A., Philippoff W., «Investigation of Elastico – Viscous Hydrodynamic Lubrication of Sleeve Bearing»,ASLE Trans., Vol. 19, No. 4, 1976, pp 301 – 308.

3.      Батыштова, К.М. Смазочное масло – конструкционный элемент машин и механизмов/ К.М. Батыштова, Т.Н. Шабалина, Г.И. Леонович// Трение и износ. – 1995. – Т 16. - № 5. – С. 918 - 924

4.      Клеманн Д. Смазки и родственные продукты. – М.: Химия, 1988.– 488 с.

5.      Павлик, Б.Б. Об учете вязкоупругопластических свойствах смазки при расчете коэффициента трения линейного УГД контакта/ Б.Б. Павлик, Э.Г. Фельдмане. – Рига.: Риж. политехн. ин-т. – 1988. – С. 5 – 14.