О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПЕРАТИВНОЙ ДИАГНОСТИКИ ЦИКЛОВЫХ МЕХАНИЗМОВ

 

ON THE POSSIBILITY OF USING THE STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE LAWS OF MOTION IN THE TASKS OF OPERATIONAL DIAGNOSTICS OF THE CYCLIC MECHANISMS

 

Алешин А.К., Ковалева Н.Л., Фирсов Г.И. (ИМАШ РАН, г. Москва, РФ)

Aleshin A.K, Kovaleva N.L., Firsov G.I. (IMASH RAS, Moscow, Russia)

 

Предлагается использовать в качестве диагностического сигнала случайную составляющую интервалов времени, что более полно и точно отражает их физические свойства и открывает возможности для увеличения их информативности как диагностических сигналов.

It is proposed to use random component of the time intervals as the diagnostic signal as about the random variables, which more fully and accurately reflects their physical properties and are offered possibilities for an increase in their informativeness as diagnostic signals.

 

Ключевые слова: случайные процессы, диагностика механизмов, информативные параметры.

Key words: random processes, diagnostics of mechanisms, the informative parameters.

 

Особенность динамических систем циклического действия состоит в многократном выполнении с периодом tц заданного закона движения. Это колебательные системы или механизмы с периодическими поступательными или вращательными движениями звеньев. Для них время цикла tц - это важный технологический параметр, определяющий быстродействие и синхронизацию с другими устройствами. Кроме того, оно используется как внешний признак возникновения дефектов в форме отклонения tц за допустимые пределы [1].

Однако время t как физический параметр весьма ограниченно рассматривается как самостоятельный диагностический сигнал и источник информации для распознавания дефектов [2]. Это обусловлено тем, что знание фактической величины интервала времени tц не позволяет указать конкретный дефект и не обладает необходимой глубиной диагностирования. Ограниченность информации связана с представлением об интервалах времени tц как о детерминированных величинах, которые принимают фиксированные и вполне конкретные значения. В такой интерпретации разные по физической природе дефекты могут приводить к одинаковым изменениям tц и указать конкретную причину невозможно. Представление об интервалах времени t как о случайных величинах более полно и точно отражает их физические свойства и открывает возможности для увеличения их информативности как диагностических сигналов. Дело в том, что, при достаточно точных многократных измерениях периода tц обнаруживаются его случайные отклонения около некоторого среднего значения. В зависимости от динамических свойств диагностируемой системы средние значения также могут претерпевать эволюцию. При этом оказывается, что в случайной составляющей времени t заключен значительный объем диагностической информации о текущем состоянии динамической системы. Таким образом, наряду с анализом конкретного физического процесса x(t) как диагностического сигнала, предлагается измерять и анализировать время достижения этим процессом некоторой величины, например время достижения звеном механизма заданной точки в процессе движения. Существует связь между характером изменения во времени физического процесса x(t) как случайного процесса (СП) и законом распределения f(t) времени достижения этим процессом постоянной заданной величины. Эта связь следует из уравнения Понтрягина для закона распределения f(pi, t) времени первого достижения СП заданной величины как функции параметров pi (i = 1, 2, 3, ..., N) динамической системы [3]. Каждый дефект - это отклонение δpk (k = 1,2, ..., s) одного или нескольких параметров диагностируемой системы от нормативных значений. Детерминированная функциональная зависимость f(pi, t) от pi ведет к характерным изменениям закона распределения f(pi, t) в случае проявления дефекта. Именно эту особенность интервалов времени t как случайных величин предлагается использовать для распознавания дефектов.

Кроме известных статистических характеристик СП, как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение (с.к.о.), асимметрия и эксцесс, конструктивным представляется использование энтропийного коэффициента плотности распределения вероятности [4]  где Iш(n)- энтропия (информация по Шеннону), определяемая из    σ - с.к.о, bN – объем выборки, d – число столбцов, а ni – число наблюдений в i-м столбце гистограммы. Для любых законов распределения величина KH лежит в пределах 0, … 2,066, причем максимальное значение KH = 2,066 имеет гауссовское распределение. Кроме этого, удобнее использовать не коэффициент эксцесса kэ, изменяющийся от 1 до µ, а контрэксцесс , значение которого может меняться в пределах от 0 до 1.

Для получения адекватной численной характеристики СП в присутствии корреляции необходимо задать число N измерений (элементов выборки), время каждого измерения τ и интервал T между последовательными измерениями, который может отличаться от τ на величину мертвого времени (T - τ). После этого можно определить для этого набора данных так называемую N -точечную выборочную дисперсию при заданном числе измерений N  и заданных величинах T и τ  В настоящее время общепринято [5] следовать предложению Дэйва Аллана [6] и использовать выборочную дисперсию с N = 2 и T = τ. Эта дисперсия Аллана  для которой используются также более короткие обозначения  или , может быть определена как  Дисперсия Аллана и квадратный корень из нее, называемый иногда стандартным отклонением или девиацией Аллана, опираются на измерение разности двух соседних последовательных измерений длительности цикла, а не на измерение отклонения длительности цикла от среднего значения, как в случае классического определения стандартного отклонения. Для заданного интервала τ  Подстановка последнего соотношения в вышеприведенную формулу дает  В случае линейного дрейфа длительности цикла, y(t) = αt, где α задает скорость дрейфа. С учетом того, что  и  следует, что . Следовательно, линейный дрейф длительности цикла приводит к девиации Аллана, линейно зависящей от времени измерения τ. При гармонической модуляции длительности цикла  где fm - частота модуляции. Поэтому  [5]. Отсюда видно, что вклад частотной модуляции в девиацию Аллана становится равным нулю при τ = 1/fm, то есть когда время τ кратно периоду модуляции 1/fm и влияние модуляции обнуляется при усреднения по времени. Девиация максимальна при  где n - целое нечетное число. Для случайных вариаций длительности цикла можно в первом приближении аппроксимировать спектральную плотность частотного шума степенной функцией вида , что соответствует следующей природе шума: белый фазовый шум (α = 2), фазовый фликкер-шум (α = 1), белый частотный шум (α = 0), частотный фликкер-шум (α = -1), шум случайных блужданий частоты (α = -2). При этом дисперсию Аллана можно также аппроксимировать степенной функцией . Между величинами α и μ существует зависимость μ = -α - 1. Эта зависимость однозначно выполняется в диапазоне , при этом для фазовых шумов (α = 1 и α = 2), которые проявляются на малых интервалах измерения, существует определенная неоднозначность [7]. Иначе говоря, белый фазовый шум во временной области выглядит так же, как и фазовый фликкер-шум. Поэтому была предложена так называемая модифицированная дисперсия Алана [8] , которая устраняет указанную неоднозначность за счет искусственного сужения полосы пропускания измерительной системы, но она обладает повышенной чувствительностью белому шуму фазы.

Можно использовать показатели, полученные с помощью метода триангуляционной интерполяции, суть которого состоит в представлении гистограммы в виде равнобедренного треугольника. Так называемый "Индекс Святого Георга" равен ширине основания треугольника, приближенного к гистограмме распределения интервалов. Величина основания гистограммы рассматривается как основание треугольника, полученного при аппроксимации распределения методом наименьших квадратов. При этом для вычисления этого основания на оси времени гистограммы задаются некоторые точка A и B, после чего конструируется мультилинейная функция q(t), такая, что q(t) = 0 для tA и tB, и интеграл  минимален при всех возможных значениях между A и B. Другой показатель, называемый триангуляционным индексом, равен отношению общего количества интервалов к высоте гистограммы (ее моде). Иными словами, триангуляционый индекс – интеграл плотности распределения D, отнесенный к максимуму плотности распределения [9].

 

Список использованных источников

1. Пронякин В.И. Проблемы диагностики циклических машин и механизмов [Текст] / Пронякин В.И. // Измерительная техника. – 2008. - № 10. – С.9-13.

2. Добрынин С.А. Методы автоматизированного исследования вибрации машин [Текст] / Добрынин С.А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И.. - М.: Машиностроение, 1987. - 224 с.

3. Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем [Текст] / Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1933. - Т. 3. Вып. 3. – С.165-180.

4. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений. [Текст] / Новицкий П.В., Зограф И.А. – Л.: Энергоатомиздат, 1985. – 248 с.

5. Rutman J. Characterization of phase and frequency instabilities in precision frequency sources: fifteen years of progress. [Текст] / Rutman J. – Proc. IEEE. – 1978. – V.66. – P. 1048-1075.

6. Allan D.W. Statistics of atomic frequency standards. [Текст] / Allan D.W. – Proc. IEEE. – 1966. - V. 54. – P.221-230.

7. Крошкин А.Н. Соотношения для оценки характеристик нестабильности частоты и погрешностей временной синхронизации [Текст] / Крошкин А.Н. // Измерительная техника. – 2000. - № 10. – С. 33-37.

8. Allan D.W. A modified “Allan variance” with increased oscillator characterization ability [Текст] / Allan D.W., Barnes J. // Proceedings of the 35th Ann. Freq. Control Symposium. – Ft. Monmouth, NJ, Electronic Industries Association, 1981. – P. 470-475.

9. Вариабельность сердечного ритма. Стандарты измерения, физиологической интерпретации и клинического использования. [Текст] – Вестник аритмологии. – 1999. - № 11. _- С. 52-77.