УДК 621.762:539.219.3

 

КИНЕТИКА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ СПЕКАНИИ ПОРОШКОВЫХ СПЛАВОВ

 

KINETICS OF REDISTRIBUTION ELEMENTS DURING SINTERING

POWDER ALLOYS

 

Жигунов В.В., Жигунов К.В. (ТулГУ, г.Тула, РФ)

Zhigunov V.V., Zhigunov K.V. (The Tula state university, Tula, RF)

 

Приводится описание метода моделирования диффузионной гомогенизации, протекающей при спекании многокомпонентных порошковых материалов, частицы которых различаются составом и размерами

Describes the modelling of diffusion homogenization occurring during sintering of multicomponent powder materials, particles which differ in composition and size

 

Ключевые слова: многокомпонентные порошки, спекание, кинетика, гомогенизация, моделирование

Key words: multicomponent powders, sintering, kinetics, homogenization, modelling

 

В случае пористого тела, полученного спрессовыванием смесей порошков различных металлов, описание кинетики диффузионного выравнивания концентраций разноименных атомов в пределах образца затруднено не только тем, что в данном случае мы имеем дело с системой, удаленной от состояния равновесия по многим параметрам, изменяющимся в процессе спекания, но, главным образом, невозможностью использования обычного аппарата теории диффузии. Это объясняется тем, что начальное распределение концентрации компонентов является случайной функцией координат, меняющейся хаотически на расстояниях порядка размеров исходных частиц порошка.

Для преодоления этих затруднений предлагается использовать метод математического описания процесса гомогенизации, основанный на использовании статистического подхода, развитого в работе [1], в сочетании с применением результатов исследований взаимной диффузии в однородных многокомпонентных средах [2-4], который позволяет изучать кинетику гомогенизации произвольных наборов частиц, отличающихся как составами, так и размерами.

Рассмотрим N + 1 компонентную систему, состоящую из М групп частиц, хаотически распределенных в пространстве и отличающихся в общем случае размером и составом. Принадлежность к той или иной группе обозначим индексом ( j ) = 1, ... M.

Будем считать, что развитие процесса поверхностной диффузии приводит к установлению на поверхностях всех частиц одинаковой концентрации Cs = f(t), где индекс s относится к значению соответствующей величины на поверхности частиц.

Запишем систему диффузионных уравнений, состоящую из M подсистем, описывающих диффузию в каждой из групп частиц

                        (1)

где [D(j)] – матрица коэффициентов диффузии, C(j) – вектор концентраций в N-мерном пространстве концентраций.

Для упрощения задачи применим метод линейных преобразований в пространстве концентраций, для чего введем линейное преобразование [A], диагонализирующее матрицу коэффициентов диффузии:

[Д] = [A]-1 [D] [A],

S = [A] C,

где [Д] – инвариантные коэффициенты диффузии [120, 171], [A]-1 – матрица, обратная матрице [A], S- вектор "обобщенных" концентраций.

Дальнейшее упрощение заключается в предположении постоянства коэффициентов диффузии. Применение преобразования [A] к системе уравнений (1) приводит к расщеплению ее на N независимых дифференциальных уравнений для каждой из (j) = 1, 2, … M подсистем:

                            (2)

где i = 1, 2, … N.

Уравнения (2) связаны между собой граничными условиями

                              (3)

где  – поток i-го компонента через поверхности частиц группы (j).

Начальные условия запишем в виде:

                           (4)

где  – начальная концентрация i-го компонента в частицах сорта (j).

В случае частиц сферической формы уравнения (2) приобретают вид

                       (5)

где 0 ≤ rR (j), R(j) – радиус частиц группы (j).

Граничные условия (3) запишутся следующим образом:

                    (6)

где n(j) - относительное количество частиц сорта (j), т.е.

Уравнения (5) при граничных (6) и начальных (4) условиях решались разностным методом Кранка - Николсон, а затем с помощью обратного преобразования находилось распределение концентраций элементов внутри частиц

С(j) = [A]-1 S(j).

Это позволяло вычислять функции статистического распределения по каждой из концентраций

ρi (C) δCi = δV (Ci, Ci + δCi) / V,

где V – суммарный объем образца, δV – часть объема, содержащая концентрации от C до C + δC.

Определим эту концентрацию из выражения для одной сферы из группы (j)

где .

Для определения δVi необходимо учесть, что распределение концентраций внутри частиц порошка может быть немонотонным. Разбивая диапазон изменения r на области монотонности функции Ci (r), найдем  для k-ой подобласти, для чего примем во внимание, что в ней Ci (r) – монотонная функция, и поэтому ей соответствует однозначная функция . Объем, содержащийся между поверхностями с радиусами rk (Ci) и rk (Ci + δCi), будет равен

Объем, в котором концентрация i-го компонента меняется от Сi до Сi + δCi для всех частиц сорта (j), найдем по формуле

Определив , можно найти функцию статистического распределения по значениям концентрации i-го компонента для всего образца

.

Предложенный метод описания диффузионной гомогенизации позволяет осуществить математическое моделирование этого процесса для случая групп сферических частиц, различающихся размерами и составом, которое было реализовано для трехкомпонентной системы Re - W - Mo с коэффициентами диффузии, приведенными в работе [5]. При этом составы порошковых смесей соответствовали области α- фазы, поскольку сплавы именно этой концентрационной области наиболее широко используются в промышленности. Температура спекания при моделировании соответствовала реальному технологическому процессу и составляла 2000°С.

Частицы первой подгруппы имели радиус 20 мкм и состав 70% W, 20% Re и 10% Mo, частицы второй – радиус 25 мкм и состав 10% W, 10% Re и 80% Mo.

На рисунке представлена эволюция функции статистического распределения по значениям концентрации молибдена.

Для верификации результатов математического моделирования проведено сопоставление расчетных и экспериментальных значений функций плотности вероятности в пространстве концентраций. При этом экспериментальные данные получали как методом локального рентгеноспектрального анализа, так и методом рентгеноструктурного анализа, дающим возможность получать интегральную информацию о концентрационном перераспределении компонентов в локально неоднородных по составу образцах.

            

Рисунок – Эволюция функции распределения по значениям концентрации молибдена при времени отжига, ч:

а – 0,5; б – 1,5; в – 4; г – 8; д – 17

 

Для решения вопроса о принадлежности выборок экспериментальных и расчетных значений одной генеральной совокупности был использован статистический критерий Пирсона. Так как значения вероятности Р() находились в интервале от 0,112 до 0,093, то можно считать, что гипотеза о согласовании расчетных и экспериментальных результатов не опровергается.

 

Список использованных источников

1. Гусак, А. М. Модели твердофазных реакций / А. М. Гусак, О. А. Богатырев; под ред. А. М. Гусака. – Черкассы: Черкасский национальный университет, 2004. – 314 с.

2. Райченко, А. И. Математическая теория диффузии в приложениях / А. И. Райченко. – Киев: Наукова думка. 1981. – 396 с.

3. Мокрова, А. М. Теоретические основы диффузионной металлизации / А. М. Мокрова, А. П. Мокров. – Тула: ТГПУ, 1999. – 188 с.

4. Мерер, Х. Диффузия в твёрдых телах / Х. Мерер. – Долгопрудный: Издат. дом ИНТЕЛЛЕКТ, 2011. – 535 с.

5. Мокров, А. П. Изотермическая диффузия в системе вольфрам - молибден - рений / А. П. Мокров, Н. И. Ханина, В. В. Жигунов // Физика металлов и металловедение. – 1995. – Т.80. – Вып.2 – С. 166-169.