УДК 621.567

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ТРОСОВОГО ВИБРОИЗОЛЯТОРА С РАДИУСНЫМ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ ОСЕВОЙ ЛИНИИ

 

DEVELOPING THE METHOD OF CALCULATION CHARACTERISTICS CABLE VIBROINSULATOR WITH THE CIRCULAR AND STRAIGHT SECTIONS OF THE AXIAL LINE

 

Пономарев Ю.К., Посохов П.В., Симаков О.Б. (СГАУ, Самара, РФ)

Ponomarev Y.K., Posohov P.V., Simakov O.B. (SSAU, Samara, RF)

 

В статье рассмотрены вопросы расчета нагрузочной характеристики и жесткости тросового цельнометаллического виброизолятора с ансамблем равномерно расположенных по окружности элементов с одинаковыми осевыми линиями в виде полуокружности и двух прямолинейных отрезков. Задача решена в линейной постановке методами сопротивления материалов с общепринятыми для этой дисциплины допущениями. Получены аналитические выражения для вычисления силы сопротивления виброизолятора в трёх взаимно-перпендикулярных направлениях от перемещений и соответствующие этим направлениям жёсткости. Дан анализ влияния геометрических параметров, описывающих модель виброизолятора, на его жесткостные свойства.

Questions of calculation of the load characteristic and ruggedness of a hummock all-metal vibroinsulator with ensemble of the elements which are evenly located on a circle with identical axial lines in the form of a semi-circle and two rectilinear pieces are considered in the article. The task is solved in linear statement by methods of resistance of materials with the assumptions, standard for this discipline. Analytical expressions for calculation of force of resistance of a vibroinsulator in three mutual and perpendicular directions are received from conveyances and corresponding to these directions of ruggedness. The analysis of influence of the geometrical parameters describing vibroinsulator model on its rigidity properties is given.

 

Ключевые слова: Виброзащита,  резонанс, собственная частота, эффективность виброзащиты, прочность тросовых элементов виброизоляторов

Key words: Vibroprotection, resonance, own frequency, efficiency of vibroprotection, strength of hummock elements of vibroinsulators

 

Введение

Виброзащитная техника широко использует тросовые виброизоляторы для обеспечения надёжности различных систем, работающих в условиях интенсивной вибрации. Одной из самых простых конфигураций тросовых элементов при конструировании указанных виброизоляторов является радиусная форма осевой линии    [1 – 3]. При такой форме тросовых упругих элементов арсенал параметров, влияющих на жесткостные свойства виброзащитной системы,  весьма ограничен: это – радиус кривизны осевой линии R, число элементов в ансамбле N и суммарный осевой момент инерции троса J, или суммарная изгибная жесткость поперечного сечения троса EJ [4]. В некоторых случаях этого арсенала средств оказывается недостаточно. И хотя с помощью перечисленных параметров всегда можно подобрать необходимую жесткость виброизолятора для обеспечения заданной собственной частоты механической системы и, следовательно, её эффективности в зарезонансной зоне, конструктору, как правило, хочется иметь бóльшее число параметров для оптимизации виброзащитной системы, например, по прочности, габаритам, или весу виброизоляторов и виброзащитной системы вцелом. В этом смысле дополнительным геометрическим параметром может быть длина прямолинейного участка l, сопряжённого с радиусным, радиуса R (рис.1, 2).

 

Постановка задачи

Следует отметить, что вследствие «запрета» угловых перемещений мест заделки тросов в обоймах (рис. 1), упругие элементы, с точки зрения сопротивления материалов, являются статически неопределимыми конструкциями. В этой связи для создания математических моделей деформирования виброизолятора необходимо эту статическую неопределимость раскрыть, что является первой частью методики.

Рисунок 1 – Внешний вид  тросового виброизолятора. Тросовые элементы показаны условно, без детальной проработки проволочек

 

Рисунок 2 – «Эквивалентная» система элемента при раскрытии статической неопределимости

  Основные допущения и гипотезы, заложенные в ходе решения поставленной задачи:

- материал проволочек троса подчиняется закону Гука;

- все проволочки в ансамбле сечения условно располагаются параллельно осевым линиям упругих элементов.

 

Основная часть

Рассмотрим технологию раскрытия статической неопределимости рабочего участка виброизолятора, деформируемого последовательно силами Р1, Р2 и Р3. Вследствие того, что в местах защемления троса в обоймах сечения не поворачиваются, эквивалентную упругую систему можно представить в виде рисунка 2 с «лишними» неизвестными Х1, Х2 и Х3, являющиеся статически неопределимыми моментами, представленными на рис. 2 в виде векторов. При этом, если мы будем рассматривать нагружение силой Р1, то этому состоянию будет соответствовать возникновение в заделке момента Х1, силе Р2 соответствует момент Х2, силе Р3 – момент Х3.

Раскрытие статической неопределимости будем вести с помощью метода сил [4, с. 500], интегралов Мора [4, с. 479] и теоремы Кастельяно [5, с. 84]. При этом, из всех внутренних силовых факторов, влияющих на определение нагрузочных характеристик кривого бруса, будем использовать, в соответствии с рекомендациями С.П.Тимошенко [5, с. 85], только изгибающие и крутящие моменты.

Последовательно загрузив «основную» (статически определимую) систему силами Р1, Р2 и Р3, с помощью канонических уравнений метода сил [4] получены выражения «лишних» неизвестных:

                                  (1)

                                                                                       (2)

                                                  (3)

где m - коэффициент Пуассона для материала проволоки троса.

Загрузив «основную» систему найденными «лишними» неизвестными и силами Р1, Р2 и Р3, с помощью интегралов Мора получены аналитические выражения для нагрузочных характеристик Pi(ui) и жесткости элементов Ci в трёх взаимно-перпендикулярных направлениях (i = 1, 2, 3), как производные :

,                 (4)

                                                            (5)

,           (6)

,                   (7)

                                (8)

.  (9)

 

Рисунок 3 – Нагрузочные характеристики элемента

 

 

В выражениях (4 – 9)  ui – перемещение точки приложения силы Pi в i – ом направлении (1 – вертикальное, 2 – горизонтальное, в плоскости осевой линии, 3 – горизонтальное направление, перпендикулярное плоскости осевой линии), а суммарный осевой момент инерции сечения троса:

    (10)

где d – диаметр одной проволочки в тросе, а n – число проволочек.

В работе условно принято, что все проволочки в тросе имеют одинаковые диаметры. В работе принято допущение, что все проволочки в тросе эквидистантны друг другу и к общей осевой линии и при изгибе деформируются независимо друг от друга.

На рис. 3, в качестве примера, показаны нагрузочные характеристики элемента из троса (рис. 2) в трёх взаимно-перпендикулярных направлениях (материал проволоки – сталь с модулем упругости E = 210 МПА, n = 49, d = 1,11 мм), а диаметр троса D = 10 мм.  

График показывает на существенное различие жесткостей элемента по трём взаимно-перпендикулярным направлениям.

  Введем безразмерную переменную

                                                      (11)

и представим выражения (7 – 9), с учетом (10), в безразмерном виде, умножив обе части выражений (7 – 9) на . При этом получим:

;                         (12)

;                                     (13)

.            (14)

Графики безразмерных функций  представлены на рис. 4. Весьма интересно, что безразмерные жесткости элемента в направлениях 1 и 2 (оси ОХ и ОУ) при параметре ξ0 =l/R=3.557 оказываются равными друг другу, однако в третьем направлении (ось ОZ)  при данном значении ξ0 жесткость с3 в 5,138 раза меньше двух других жесткостей.

Обозначим безразмерные силы сопротивления элемента в направлениях 1, 2, 3 через  h1, h2, h3. Тогда с учетом выражений (11 – 13) будем иметь:

,                                        (15)

где

 (i = 1, 2, 3).                          (16)

Рисунок 4 - Зависимости безразмерных жесткостей элемента сот относительной длины x прямолинейного участка

           

Как представляется авторам, для виброизолятора в целом его жесткость в плоскости, перпендикулярной оси симметрии должна быть одинаковой при большом числе элементов, равномерно расположенных по окружности изделия. Жесткость же виброизолятора в направлении оси симметрии можно приблизить  к жесткости в перпендикулярных направлениях за счет вариации параметра l. Для доказательства этого была создана математическая модель виброизолятора с N равномерно распределёнными по окружности обойм элементами и произвольными, но одинаковыми для всех элементов ансамбля параметрами l и R. Математическая модель получена с использованием суммирования компонент (14) с учетом соответствующих направляющих косинусов ориентации плоскостей элементов относительно вектора перемещения (рис. 5). Вначале рассмотрим создание математической модели нагружения виброизолятора в горизонтальной плоскости ХОZ. Ось Хi  соответствует  направлению 2, ось Zi – направлению 1, а ось Yi на рис.5 не показана, т.к. она проходит перпендикулярно плоскости чертежа.

Введем две системы координат: глобальную для всего виброизолятора, и подвижную, связанную с каждым i-тым элементом.

Введем две системы координат: глобальную для всего виброизолятора, и подвижную, связанную с каждым i-тым элементом.

Символами  и на рис. 5 показаны компоненты силы сопротивления элемента, возникающие при смещении верхней обоймы относительно нижней. Пусть верхняя обойма сместилась на величину r  в направлении угла a. Тогда точка заделки i – того элемента в верхней обойме сместится в подвижной системе координат на величины

                                          (17)

                                         (18)

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок  5- Расчетная схема виброизолятора с равномерно расположенными по окружности элементами

 

Под действием смещений (17 – 18) реакции i – того элемента в направлениях осей подвижной системы координат можно записать в виде:

                                              (19)

                                              (20)

Спроектируем компоненты (18 – 19) на оси глобальной системы координат:

                                                                                (21)

                                                                                (22)

Найдем суммы проекций всех сил сопротивления на оси ХОУ:

                                   (23)

а модуль результирующего вектора силы сопротивления найдется в виде

                                    (24)

         Если разложить вектор  на компоненты в глобальной системе координат

                                        (25)

                                         (26)

Рисунок 6 - Годографы безразмерных жесткостей виброизолятора `св(j) с десятью элементами и различным соотношением относительной длины прямолинейных участков: 1 - x=l/R= =3,5; 2 - x=4,0; 3 - x=5,162; 4 - x=6,0; 2 - x=7,0; 2 - x=9,0

 

то выражения (23, 25, 26) представляют собой параметрическое задание годографа силы сопротивления виброизолятора в плоскости XOZ.

На рис. 6 показано распределение безразмерной жесткости виброизолятора в плоскости ХОУ с 10-ю элементами и с различными вариантами относительной длины прямолинейного участка в ансамблях виброизолятора. Расчеты показали, что при любом N > 3 относительный параметр  x=5,162 (кривая 3) позволяет обеспечить равную жесткость виброизолятора по всем трём взаимно-перпендикулярным осям, и, тем самым равночастотность механической системы в пространстве трёх координат.

На рис. 7 показаны расчетные нагрузочные характеристики того же виброизолятора в направлениях трёх взаимно-перпендикулярных осей при параметре x=5,162. Все они совпали друг с другом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 7- Нагрузочные характеристики виброизолятора в трех взаимно-перпендикулярных направлениях при x=5,162

 

Таким образом, в работе доказано, что для тросовых виброизоляторов принципиально возможным является создание равночастотных механических систем виброзащиты. Отметим, что обеспечение равножесткости по трём взаимно-перпендикулярным направлениям возможно осуществить и другими способами, но об этом планируется рассказать в следующих статьях авторов.

 

Список использованных источников

1. Патент РФ № 2179667, МКИ F16F7/14, F16G11/00. /Тросовый виброизолятор// Антипов В.А., Гунин В.А., Ковтунов А.В., Калакутский В.И., Пономарев Ю.К., Варгунин В.И.// Заявл. 05.02.01. Опубл.20.02.02, БИ №5.

2. Патент РФ №  2059126, МКИ F16F7/14. /Способ формирования упругофрикционного элемента для тросовых виброизоляторов// Безводин В.А.; Пономарев Ю.К.; Чегодаев Д.Е.// Заявл.31.03.1992. Опубл. 27.04.1996.

3. Патент РФ №96921, МПК F16F7/14. /Тросовый виброизолятор// Гвоздев А.С.; Мелентьев В.С.; Пономарев Ю.К.; Посохов П.В.; Васюков Е.С.// Заявл. 13.04.2010. Опубл. 20.08.2010, БИ №23.

4. М.Н.Рудицын, П.Я.Артёмов, М.И.Любошиц. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Под общей редакцией М.Н.Рудицына. Изд-е третье. -Минск: Вышейшая школа, 1970.- 630 с.

4. С.П. Тимошенко. Сопротивление материалов. Белее сложные вопросы теории и задачи. Т.2, издание второе. Государственное издательство технико-теоретической литературы. -М., 1946. -456 с.