УДК 519.6:621.313.333.045.53

РАСЧЕТ СГЛАЖИВАЮЩИХ RL-ФИЛЬТРОВ АКТИВНО-ИНДУКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОМ УПРАВЛЕНИИ В ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИИ АВТОМОБИЛЕЙ

 

CALCULATION OF LOW-PASS RL FILTERS IN ACTIVE-INDUCTIVE CIRCUITS USED IN AUTOMOTIVE ELECTRONICS CONTROLLED BY PULSE-WIDTH MODULATION

 

Воржев В.Б., Сычева М.А., Купин В.И.

(Донской государственный технический университет,  г.Ростов-на-Дону, РФ)

Vorzhev V.B., Sychova M. A., Kupin V.I.

(Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia)

 

Приведены алгоритмы расчета сглаживающих фильтров для ШИМ формы питающего напряжения. Показано сравнение расчетных данных с экспериментальными. Обосновано практическое применение данной методики для расчета силовых электротехнических и электронных устройств.

Thearticledescribescalculationalgorithmsoflow-passfiltersforPWMpowersource. Data calculations are compared with experiment. The practical application of this technique for calculation of power electrical and electronic devices is substantiated.

 

Ключевые слова: электрооборудование автомобилей, широтно-импульсное управление, схема замещения катушки индуктивности, частотная зависимость полного сопротивления катушки индуктивности, RL-фильтр, потери на гистерезис

Keywords: automotive electronics, PWM control, inductance-free schematics, frequency dependence of full impedance of coil inductance, RL filter, hysteresis loss

 

Применение силовой электроники в современном автомобиле позволило существенно повысить уровень автоматизации его основных подсистем и расширить их функции. Как известно, управление мощными электротехническими и электронными нагрузками более экономично при их работе в импульсном режиме. Одним из способов такого управления является широтно-импульсное (ШИ-управление), при котором поступающая в нагрузку мощность регулируется величиной длительности импульса при сохранении управляющей частоты f и периода пульсаций Т. При этом практически все подобные устройства содержат сглаживающие фильтры, снижающие долю переменной составляющей в нагрузке, то есть, коэффициент пульсаций. Важным является то, что ШИ-управление осуществляется на частотах, значительно выше частоты 50 Гц, что заставляет использовать специальные схемы замещения для индуктивности сглаживающего фильтра , поскольку поведение его полного сопротивления существенно изменяется с повышением частоты.

В настоящей статье показана возможность учета этой особенности катушки индуктивности на актуальном для практической электроники примере расчета коэффициента пульсаций для активно-индуктивной нагрузки при широтно-импульсном характере питающего напряжения. Такой подход позволяет использовать результаты статьи как в академических (лекции, учебные пособия), так и в практических целях (алгоритмы расчета сглаживающих фильтров).

 

1. Математическая модель исследуемой электрической цепи с учетом специфики работы катушки индуктивности на высоких частотах

Низкочастотная схема замещения катушки индуктивности представляет собой последовательно соединенные резистор R, определяющий активные потери в сердечнике, и индуктивное сопротивление XL, являющееся следствием возникновения в обмотке ЭДС индукции (см. рис. 1.а). Данная схема замещения хорошо описывает электрическое состояние катушки на частоте порядка 50 Гц, но с повышением частоты перестает соответствовать действительности.

С возрастанием частоты в сердечнике возрастают активные потери на гистерезис и начинают проявляться емкостные свойства обмотки. Одним из способов математически описать характер изменения полного сопротивления катушки на более высоких частотах – шунтирование ее индуктивного сопротивления активным, - интегрально описывающим все перечисленные процессы (см. рис. 1.б).

 

Рисунок 1 - Схемы замещения катушки индуктивности

а) классическая последовательная низкочастотная; б) параллельная высокочастотная

Это предположение было проверено экспериментально для катушек индуктивности с сердечниками малой мощности и различным количеством витков.При этом протекающие через катушки токи были порядка десятков миллиампер, чтобы свести к минимуму нелинейные искажения.

Приняв эту схему замещения, получим следующую схему замещения для расчета RL-фильтра, показанную на рис. 2.

Для процесса заряда запишем следующие дифференциальные уравнения:

Начальные условия цепи:

Исходя из начальных условий

Рисунок 2 - Схема замещения для расчета RL-фильтра

 

Решим эту задачу методом конечных разностей с шагом по времени, равным h.

Получим следующие выражения для определения всех токов в момент времени k+1:

Для процесса разряда цепи через цепь диода запишем следующие выражения:

Аналогичным образом получим следующие выражения для численного отыскания токов во время разряда цепи:

На основании полученных формул можно составить программу в пакете Mathcad, находящую численное решение для токов рассмотренной цепи. Результаты таких расчетов (минуя время переходного процесса цепи) показаны на рис. 3 для тока нагрузки (t) при  = 3 В; = 20 Ом;  = 10 мГн;  = 2 Ом;  = 0,117 Гн; r = 1150 Ом;  =  = 0,5 мс.

Рисунок 3- Результаты численного решения задачи для установившихся электрических процессов, проведенного в программном пакете Mathcad

 

Параметры катушки индуктивности сглаживающего фильтра были взяты из проведенных ранее исследований, в которых доказывалась правомочность использования в качестве ее схемы замещения – параллельное соединение индуктивности L и некоторой величины активного сопротивления r, обусловленного электрическими процессами на частотах порядка единиц килогерц [1].

Рассчитанная временная зависимость тока нагрузки показывает более сложный характер переходных процессов, нежели это следует из классической, последовательной схемы замещения, являющейся цепью 1-го порядка, для которой характерно чередование возрастающих и убывающих экспонент.

Для подтверждения проведенных численных расчетов, согласно рис. 2 была собрана экспериментальная установка, к которой был подключен лабораторный генератор прямоугольных импульсов. Данные проведенного эксперимента подтверждают представленный на рис. 3 характер пульсаций тока нагрузки, а проведенные измерения постоянной и переменной составляющих напряжения на нагрузке совпадают с расчетными с погрешностью порядка 3 – 5%, что говорит об адекватности приведенной математичкой модели.

 

2. Алгоритм расчета RL-фильтра с уточненной схемой замещения катушки индуктивности

Выведем формулу для коэффициента сглаживания RL-фильтра для исследованной электрической цепи.

Коэффициент пульсаций входного напряжения при произвольном значении времени длительности импульса, равной αT, где α – некоторое число, меньшее единицы, а T – период сигнала, будет равен:

Величины амплитуды основной гармоники  и постоянной составляющей определим из разложения Фурье для последовательности прямоугольных импульсов. Для упрощения формул положим, что сигнал имеет вид четной функции.

Для определения коэффициента пульсаций на выходе пересчитаем для частоты основной гармоники параллельную схему замещения в последовательную, как это показано на рис. 4.

Рисунок 4 - Схема замещения для расчета величины коэффициента пульсаций

 

Значения сопротивлений r'и можно рассчитать, записав выражение для комплекса проводимости катушки:

Тогда комплекс ее сопротивления

Из этого выражения получим формулы для пересчета значений ' и r':

Тогда постоянная составляющая напряжения на выходе:

переменная составляющая напряжения на выходе:

Коэффициент сглаживания RL-фильтра будет определяться следующим образом:

Оценки величины r' и L'ф для различных частот, для исследованных катушек индуктивности приведены в табл. 1. Видно, что с ростом частоты растет величина сопротивления r', что будет приводить к снижению величины постоянной составляющей напряжения в нагрузке. Это может привести к потере «полезной» составляющей входного управляющего напряжения и снижению эффективности работы устройства. Значит, при расчете сглаживающих RL-фильтров на частотах порядка килогерц следует особым образом учитывать физические процессы, происходящие в катушке с сердечником, используя при этом рассмотренную параллельную схему замещения.

 

Таблица 1 - Оценки величин  и  для различных частот, для исследованных катушек индуктивности

 

 

f = 500 Гц

f = Гц

f = Гц

f = Гц

r, Ом

L, мГн

r’, Ом

L’, мГн

r’, Ом

L’, мГн

r’, Ом

L’, мГн

r’, Ом

L’, мГн

780

26

8,46

990

32,8

960

116

850

221

720

290

55

76

740

170

413

247

150

269

73

1150

117

107

907

334

710

713

380

904

214

 

По результатам исследований были получены следующие результаты:

- на основании параллельной схемы замещения катушки индуктивности, учитывающей физические процессы на частотах порядка единиц килогерц, была построена математическая модель электрических процессов в сглаживающем RL-фильтре, работающем на активно-индуктивную нагрузку;

- форма рассчитанных программным способом пульсаций тока нагрузки совпала с формой, полученной экспериментальным путем, что означает высокую адекватность построенной математической модели;

- на основании построенной модели была получена формула для расчета коэффициента сглаживания RL-фильтра при широтно-импульсном управлении, работающего на активно-индуктивную нагрузку, в том числе, используемую в электрооборудовании автомобилей.

 

Список использованных источников

1.    Березин О.К., Костиков В.Г., Шахнов В.А. Источники электропитания радиоэлектронной аппаратуры. Издательско-полиграфическое Агентство «Три Л», 2000.