УДК 666.97

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И УПРЕЖДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ  ПОГРЕШНОСТИ ДОЗИРОВАНИЯ

 
MATHEMATICAL MODEL OF STATISTICAL FORECASTING AND ANTICIPATING DYNAMIC DOSING ERRORS

 

Поляков С.И. (Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова, г.Воронеж, РФ)

Каптилкин Д.Г., Шаляпин В.В. (Воронежский государственный технический университет, г.Воронеж, РФ)

 

Polyakov S.I. (Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov, Voronezh, Russia)

Kaptilkin D.G., Chaliapin V.V. (Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia)

 

Рассматриваются вопросы прогнозирования весового дозирования сыпучего материала, методика расчета прогноза временного ряда

The problems of forecasting the weight dosing of bulk material, the method of calculating the forecast of the time series.

 

Ключевые слова: дозирование, прогноз, временной ряд, динамическая погрешность

Key words: dosing, forecast, time series, dynamic error

 

Математическая модель для такого процесса в общем виде может быть представлена следующим равенством [1]:

 

- определенная последовательность одинаково распределенных независимых величин, носящих случайный характер,

- оператор авторегрессии стационарный, который может быть представлен следующим многочленом:

(p-степенной порядок авторегрессии),

- оператор, носящий название скользящего среднего, представляющий вид многочлена:                                                                                                                                      

 

Отсюда можно определить прогнозирующую функцию , где  которая может быть представлена взвешенной бесконечной суммой предшествующих наблюдений

 

В итоге прогнозируемое значение динамической погрешности для дозирования в настоящий момент времени (=1) может выражено следующим образом:                            

 

Весовые коэффициенты  определим приравниванием частей:

где - оператор авторегрессии обобщенный, вычисляется из выражения:

 

В общем виде приравнивая последние выражения получим следующее равенство:

 

Используя процедуру приравнивания при параметре  в левой и правой частях можно найти весовые коэффициенты .

 

Теоретически  определяются по прошлым значениям ). Практически  может быть вычислено достаточно точно по нескольким предыдущим значениям ряда.

 

Если рассматривается процесс авторегрессии 1-го порядка , то  значения коэффициентов  определяются величинами  и , которые, в свою очередь, вычисляются из уравнений:

 

 

где параметры - искомые коэффициенты процесса автокорреляции.

 

На практике вместо  и  следует использовать их оценочные значения и . Пусть временной ряд задан некоторой последовательностью 70 дискретных значений. Построим для этого ряда модель прогноза (рисунок 1) [2-4].

 

Автокорреляцию  определим по оценке :

 

где – задержка в циклах дозирования; = 0, 1, 2, ... .

Oценка автоковариации

 

Cреднее значение дискретного ряда

 

Рисунок 1 – Временной ряд mi

 

Автокорреляция при значениях = 1, 2, 3,… равна соответственно

 

Выберем для дальнейшего практического применения линейную нестационарную модель смешанного процесса авторегрессии первого порядка – проинтегрированного скользящего среднего первого порядка АРПСС (1, 1, 1). Две первые автокорреляции через параметры процесса имеют вид

 

Используя оценки  и  вместо  и , совместным решением двух последних уравнений можно получить исходные выборочные оценки параметров  и :

 

Подобный подход позволил получить весовые коэффициенты

Первые десять весов  приведены на диаграмме (рисунок 2).

Свойство сходимости ряда, когда веса  в сумме равны единице, подтвердилось, то есть для данных коэффициентов

Итак, значение временного ряда может быть найдено как взвешенное среднее предшествующих значений плюс дополнительный импульс по формуле

 

Рисунок 2 – Диаграмма весовых коэффициентов

 

ва временных ряда, один из которых генерирован процессом АРПСС (1, 1, 1), представлены на диаграмме (рисунок 3).

Рисунок 3 – Временные ряды: генерированный (ряд 1)  и исходный (ряд 2)

 

Модель реализует нестационарный случайный процесс, образованный временным рядом динамических погрешностей дозирования. Такой подход представляет собой решение задачи оптимизации по сходимости результатов управления дозатором.

В результате были проведенных экспериментальных и теоретических исследований разработан способ адаптивного управления дозирования сыпучих материалов,  заключающийся  в статистическом прогнозировании и упреждении динамической погрешности.

Список использованных источников

1.    Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и упр. М.: Мир, 1974.  Вып.1.  406 с.

2.    Поляков С.И. Прогноз дискретного ряда дозирования // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 6. С. 33-35.

3.    Поляков С.И. Прогнозирование процесса дозирования сыпучего материала // Автоматизация и современные технологии. 2012. № 4. С. 3-5.

4.    Поляков С.И. Статистическое прогнозирование и упреждение динамической погрешности дозирования // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спецвыпуск. С. 77–78.